Mempersoalkan Ketakterhinggaan

Photo by freddie marriage on Unsplash

Bermatematika tidak lagi menghitung suatu fungsi, melainkan berargumen — Prof. Hendra Gunawan

Dalam matematika — setidaknya bagi saya — salah satu objek yang menarik adalah ketakterhinggaan. Objek tersebut muncul dalam limit, deret, integral, dan bidang matematika lain yang tidak dapat saya sebutkan di sini.

Pada semester pertama perkuliahan, tepatnya matakuliah kalkulus, ada persoalan deret yang membuat saya bertanya-tanya. Deret tersebut berbentuk

1–1+1–1+1-…

Deret di atas disebut dengan deret Gandi

Setelah memasuki semester ketiga — tepatnya setelah belajar deret tak hingga — saya mendapati ada pendekatan matematis dari permasalahan di atas yang membuat dilema pada diri saya : apa kesimpulan dari deret di atas ?

Jawaban dari deret di atas akan saya bahas dengan dua pendekatan : pendekatan naif dan pendekatan kalkulus

Pendekatan Naif

Sebuah video yang menjadi konten di Numberphile membahas persoalan deret tersebut. Caranya sebagai berikut

Cara 1:

Misalkan S = 1-1+1-1+…. , sehingga deret diatas menjadi

S = 1-S

Kedua ruas dijumlahkan dengan 2, sehingga

2S = 1

Kedua ruas dibagi dengan S, sehingga

S = 1/2

Jadi, 1–1+1–1+…. adalah 1/2

Cara 2:

Deret 1–1+1–1+…. kita kelompokan menjadi beberapa suku menjadi

(1–1)+(1–1)+…. yang menghasilkan

0+0+0+…. = 0

Cara 3:

Deret 1–1+1–1+…. kita kelompokan menjadi beberapa suku menjadi

1-(1–1+1–1+….) yang menghasilkan

1-(0+0+0+….) = 1

Aneh bukan ? tapi biarkan saya berargumen dengan pendekatan matematis

Pendekatan Matematis

Dalam kalkulus — tepatnya barisan dan deret — persoalan deret diatas dikenal sebagai deret ganti tanda dengan notasi

Notasi Deret Ganti Tanda

Untuk menguji kekonvergenan deret ganti tanda, ada tiga uji yang dapat digunakan :

1. Suatu deret ganti tanda dengan an > an+1 > 0 apabila nilai limit an menuju tak hingga sama dengan 0, maka deret an konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn, tidak melebihi an+1
2. Apabila nilai mutlak dari deret tak hingga Un konvergen, maka deret tak hingga Un konvergen (kekonvergenan mutlak)
3. Andaikan deret tak hingga Un suku-sukunya tak nol. Andaikan

Uji Pembanding Mutlak

i) Jika rho < 1, maka deret konvergen

ii) Jika rho = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apapun

iii) Jika rho > 1, maka deret divergen

4. Jika deret tak hingga Un konvergen tetapi nilai mutlak dari deret tak hingga Un divergen, maka deret tak hingga Un dikatakan konvergen bersyarat

Jika deret 1–1+1–1+…. diuji menggunakan uji kekonvergenan mutlak, maka akan didapat deret ini divergen, dengan alasan jika nilai mutlak dari deret tak hingga Un divergen, maka deret tak hingga Un tanpa mutlak pun divergen (kontraposisi)

Jadi, apa argumen anda untuk permasalahan deret ini ?